1 . 已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，
(1)证明：；
(2)设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值．
参考公式：

2 . 我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
(1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
(2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上．

3 . 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程.

4 . 已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．

6 . 已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围．

8 . 已知椭圆：()的长轴长4，离心率，
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆左，右顶点，已知点为直线：上的动点，直线､与椭圆分别交于､两点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.

9 . 已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.

10 . 如图所示，椭圆的离心率为，过点作直线交椭圆于不同两点，．

（1）求椭圆的方程；
（2）①设直线的斜率为，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程（用表示）；
②若，为椭圆上的动点，求四边形面积的最大值．