【推荐1】如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．

（1）求的值；
（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知：点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若，求证为定值．

【推荐1】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过左焦点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于､､､四点，若四边形的面积为，求直线的方程：

【推荐2】已知椭圆过点，，且与椭圆有公共的焦点，点在椭圆上，且位于轴上方．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若△的面积等于3，求点的坐标；
(3)若，求△的面积．

【推荐3】已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.