1 . 在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，点的坐标为，过点的直线，其参数方程为（为参数）．直线与椭圆交于，两点．
（1）若，求的长；
（2）若直线也经过点，其倾斜角与的倾斜角互补，且与椭圆交于，两点，求证：．

2 . 在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；
（2）若点，分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于，两点，求证：为定值.

4 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线（，，且）与曲线的交点为，，直线与曲线的交点为，．
（1）求曲线的普通方程；
（2）证明：为定值．

5 . 在平面直角坐标系中，P为曲线（为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点.记Q点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求证：曲线的极坐标方程为；
（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.

6 . 已知椭圆(是参数)，A和B是C上的动点，且满足(O是坐标原点)，以O为极点､以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为.
（1）求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
（2）利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.

7 . 在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；
（2）若点，分别是曲线和上的点，且，证明：为定值．

8 . 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换．
（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆；
（2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换，得到△，记△和△的面积分别为S与，求证：.

9 . 直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）曲线与直线：交于，两点，求；
（2）曲线的参数方程为(，为参数)，当时，若与有两个交点，极坐标分别为，，求的取值范围，并证明.

10 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点的坐标为，证明：直线关于轴对称．