2 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

   

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.

3 . 已知：如图，等腰三角形中，，，直线经过点（点、都在直线的同侧），，，垂足分别为、.
   
(1)求证：；
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.

4 . 如图，在正方形ABCD中，.求证：.

证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴.∴.
   
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

   
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.
(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.

5 . 小明在学习矩形时发现：在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点，若，则平分.他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
   

(1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点；（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点.求证：平分；
证明：四边形是矩形，
，
①_________________.
，
，
，
②_________________.
又，③_________________，
④_________________.
.
又，
，
.
⑤_________________，
.
.
平分.

7 . 数学课上，张老师给出这样一个问题：
已知，如图，正方形中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接．求证：．

(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和相等的角，即_________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“”的启发，可在线段上截取，再证…．
小明：我受结论中“”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点，分别是线段，的中点，若，，则的长度为_________．

8 . 如图，在中，为边上一点，与分别为和的平分线.

(1)判断是什么三角形，并证明你的结论；
(2)比较与的大小；
(3)以为直径的交于点，连接与交于，若，，求证：，并求的值.

9 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，             
求证：