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1 . 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，
，求证：
.
证明：原式
.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式
，当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在
的条件下，当x为何值时，
有最小值，最小值是多少？
解：∵
，∴
，即
，∴
，当且仅当
，即
时，有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如，求下列各式的值：
___________ .
(2)若正数
满足，则
的最小值为___________ .
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，
，求证：.证明：原式
.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式
，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在
的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵
，∴，即，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如
，求下列各式的值：(2)若正数
满足，则的最小值为
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2 . 小明在学习矩形时发现：在矩形
中，点
是
边上一点，过点作
交边
于点
，若
，则
平分
.他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
(1)用直尺和圆规，过点作
的垂线交于点；（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点
.求证：平分；
证明：
四边形是矩形，
，
①_________________
.
，
，
，
②_________________.
又
，③_________________，
④_________________
.
.
又
，
，
.
⑤_________________，
.
.
平分.
中，点是边上一点，过点作交边于点，若，则平分.他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空. (1)用直尺和圆规，过点
作的垂线交于点；（只保留作图痕迹）(2)已知：如图，在矩形
中，点是边上一点，过点作交边于点.求证：平分；证明：
四边形是矩形，，①_________________.，，，②_________________.又
，③_________________，④_________________..又
，，.⑤_________________，..平分.
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3 . 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得
，连接BE．
(1)证明：
；
(2)延长BE至F，使
，连接CF，求证：
．
，连接BE． (1)证明：
；(2)延长BE至F，使
，连接CF，求证：．
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4 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在
中（图1），
为
的平分线，则有
.
(2)如图2，已知的重心为
，内心为
，若
的连线
.求证：
.
中（图1），为的平分线，则有.
(2)如图2，已知
的重心为，内心为，若的连线.求证：.
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5 . 已知：如图，等腰三角形
中，
，
，直线
经过点
（点
、
都在直线的同侧），
，
，垂足分别为
、.
(1)求证：
；
(2)请判断、
、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.
中，，，直线经过点（点、都在直线的同侧），，，垂足分别为、. (1)求证：
；(2)请判断
、、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.
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6 . 如图，在正方形ABCD中，
.求证：
.
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，
.
∴
.
∵，∴
.
∴
.∴
.
∴
.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且
.试猜想
的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，
，
，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则
___________.
(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，
，
，
，点E､F分别在线段AB､AD上，且
.求
的值.
.求证：.证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，.∴
.∵
，∴.∴
.∴.∴
.∴. 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且
.试猜想的值，并证明你的猜想.(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，
，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，
，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.
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解题方法
7 . 如图，在三棱柱
中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.
；
(2)在线段CD上是否存在一点
，使得平面
平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.
；(2)在线段CD上是否存在一点
，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
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2023-04-13更新
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3160次组卷
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9卷引用：浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）立体几何专题：立体几何探索性问题的8种考法（已下线）13.2.4 平面与平面的位置关系 （1）河北定州中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题江西省宜春市第十中学2024届高二上学期开学检测数学试题新疆阿克苏市实验中学2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试题（已下线）8.5.3 平面与平面平行【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）11.3.3平面与平面平行-同步精品课堂（人教B版2019必修第四册）（已下线）专题突破：空间几何体的动点探究问题-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）
8 . 数学课上，张老师给出这样一个问题：
已知，如图，正方形中，点是边上一点，作射线，过点作
于点，交的延长线于点，连接
．求证：
．
(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即_________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段上截取
，再证
…．
小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以
为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点
，
分别是线段，
的中点，若
，
，则
的长度为_________．
已知，如图，正方形
中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接．求证：．(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即_________；(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段上截取，再证…．小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点
，分别是线段，的中点，若，，则的长度为_________．
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9 . 如图，在
中，为边上一点，
与
分别为
和
的平分线.
(1)判断
是什么三角形，并证明你的结论；
(2)比较
与
的大小；
(3)以
为直径的
交于点，连接与交于，若
，
，求证：
，并求
的值.
中，为边上一点，与分别为和的平分线.(1)判断
是什么三角形，并证明你的结论；(2)比较
与的大小；(3)以
为直径的交于点，连接与交于，若，，求证：，并求的值.
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10 . 已知是的内接三角形，
为的切线，为切点，为直线上一点，过点作的平行线交直线于点，交直线
于点.
(1)当点在线段上时，求证：
；
(2)当点为线段
延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；
(3)若
，求的半径.
是的内接三角形，为的切线，为切点，为直线上一点，过点作的平行线交直线于点，交直线于点.(1)当点
在线段上时，求证：；(2)当点
为线段延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；(3)若
，求的半径.
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