1 . 设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．

2 . 对于区间与函数，定义区间Ⅰ的长度为．已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有．

3 . 设多项式的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且．

4 . 给定一个的方格棋盘，其中有n个格子上各放置一枚棋子．对每个棋子，以其所在格为中心作一个的边平行于相应棋盘边界的正方形，这个正方形称为该棋子的范围．已知每个棋子范围中恰有一个其他棋子，求n的最大值．

5 . 在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．

6 . 设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．

7 . 记（在模p意义下，其中p为奇质数），为系数定义在F上的多项式且，n为未定元的个数．若，证明：除外还有一个零点，即存在，使得．（注：取值也均从F中取，本题中所有等于与取值均在模意义下进行）

8 . 一个大于1的整数m，如果对所有的正整数n，都存在正整数x、y、z，使得，则称m为上数，否则称为下数．试问：是否存在无数多的上数？是否存在无数多的下数？

9 . 给定正整数m、n，一个的正方形由8个白色及1个黑色的的正方形构成，其中黑色正方形在正中间．一个的大正方形由个这样的的正方形构成．现将一些的白色正方形染成红色，使得每个白色正方形都至少与一个红色正方形有公共顶点．求最少的需要染红的正方形的数目．

10 . 已知集合满足，若P为集合B的边界线C上任意一点，为曲线C的焦点，I为的内心，直线和的斜率分别为，且则t的最小值为________．