1 . ，使得（）恒成立，则所有满足条件的a的和_____．

2 . 已知半径为1的圆上有2022个点，求证：至少存在一个凸337边形，它的面积小于．（，）

3 . 求所有正整数n和素数p满足

4 . 甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．

5 . 已知，，…，是集合的n个非空子集，如果对于任意的i，，均有，则n的最大值为___________.

6 . 某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了n个不同的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组至多有2位共同的同学，求n的最大值.

7 . 如图，､分别是△ABC､△ACD的重心，的外接圆与直线BD相交于点P，且，求证：.

8 . 设为正整数，，，令．求证：存在使得，．

9 . 工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为千米，从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）

10 . 设为正整数，若对所有正整数成立，则______．