1 . 设n为不小于3的正整数，在正n边形中，选取一些对角线，满足其中的任两条对角线若在多边形内部相交则一定垂直．问：最多可选取多少条对角线？
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2 . 对于数列
，若存在常数
使得
对任意正整数
成立，则称
是有界数列．已知数列满足递推式
，求证：
（1）若
，则不是有界数列．
（2）若
，则是有界数列．
，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证：（1）若
，则不是有界数列．（2）若
，则是有界数列．
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3 . 设
，以
表示正整数b，c的最小公倍数．求证：
．
，以表示正整数b，c的最小公倍数．求证：．
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4 . 求最小的正整数,使得存在一个
的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合
; (2)记
为数阵中第
行中的数组成的集合, 
为第
列中的数组成的集合
,则
,
是4026个不同的集合.
,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.
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5 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如
，其中，
是某个正整数）．
，其中，是某个正整数）．
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6 . 将一枚棋子放在一个
的棋盘上，记
为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组
，使得从
出发，经过每个小方格恰一次到达
（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.
的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.
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7 . 已知数列
满足
，
．给定奇质数
和正整数
满足
，证明：
的充分必要条件为
．
满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
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8 . 设
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为
.求证：
.
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.
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9 . 对给定的正整数
，定义
表示的各个数位上的数字之和的平方，当
且
时，
表示
的各个数位上的数字之和的
次方，其中，当为奇数时，
；当为偶数时，
，试求
的值．
，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，，试求的值．
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