1 . 证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.
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2 . 正整数数列
满足：
，
．试求通项公式
．
满足：，．试求通项公式．
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3 . 设
是定义在自然数集合
上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数
,有
.
(1)求
;
(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求
;
(3)是否存在符合题设条件的函数,使
,证明你的结论.
是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求
;(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求;(3)是否存在符合题设条件的函数
,使,证明你的结论.
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4 . 已知
个实系数二次函数
的判别式
都相等.若对任意的
，方程
均有两个不等的实根，求证：方程
也有两个不等的实根.
个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.
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5 . 求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形
，只要
，就一定存在三点
，使
的面积不大于凸n边形面积的
.
，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.
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6 . 求证:存在唯一的正整数数列
，使得
，
.
，使得，.
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7 . 已知
，
．求证：对一切
，
，…，
，均有
，等号当且仅当
时成立．
，．求证：对一切，，…，，均有，等号当且仅当时成立．
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8 . 已知数列满足：
，
，
．求证：
．
满足：，，．求证：．
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9 . 求最小的正整数
，使得当正整数点
时，在前
个正整数构成的集合
中，对任意
总存在另一个数
且
，满足
为平方数．
，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．
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