1 . 将长为
、宽为
的矩形划分为
个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.
、宽为的矩形划分为个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.
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2 . 一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台阶，或者一次上4级台阶.若这个人上
级台阶总共有
种走法，证明
为平方数.
级台阶总共有种走法，证明为平方数.
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3 . 求集合
.
.
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4 . 设
，其中，b为正奇数.定义数列
满足
，
.若正整数
，使得
为素数.证明：
.
，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
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5 . 已知数列
．求证：
．
．求证：．
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6 . 
定义在正整数集上，且满足
，
.求证：对所有整数
，有
.
定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有.
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7 . 数列
满足： 
， 
.求证：对一切
，均有
.其中
表示不大于实数
的最大整数，
是斐波那契数列： 
.
满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： .
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8 . 圆周上分布着2002 个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身）白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点.为确保圆周上至少有一个好点，试求所染黑点数目的最大值.
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9 . 设
，其中
和
都是实数，且
.证明：若
，则对一切正整数，均有
.
，其中和都是实数，且.证明：若，则对一切正整数，均有.
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10 . 试求所有函数
：
，使得对一切
有
，且
.
：，使得对一切有，且.
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