1 . 定义在R上的函数
满足：
i.对任意的实数x、y有
；
ii.
；
iii.在区间
上为增函数.
（1）求
、
、
的值；
（2）解不等式
.
满足：i.对任意的实数x、y有
；ii.
；iii.
在区间上为增函数.（1）求
、、的值；（2）解不等式
.
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2 . 已知函数
，其中，
为实参数．求所有的数对
，使得函数
在区间
内恰好有2011个零点．
，其中，为实参数．求所有的数对，使得函数在区间内恰好有2011个零点．
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3 . 是否存在
上的周期函数、
，使得对任何
，有
？
上的周期函数、，使得对任何，有？
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4 . 一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、
、
都在的定义域内，就有
、
、
也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.
（1）若是定义在
上的周期函数，且值域为
，证明：不是保三角形函数；
（2）若
是保三角形函数，求
的最大值.
，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.（1）若
是定义在上的周期函数，且值域为，证明：不是保三角形函数；（2）若
是保三角形函数，求的最大值.
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5 . 设是定义在定义域
上的函数.若对任何实数
以及中的任意两数
、
，恒有
，则称为定义在上的
函数.
（1）已知是上的函数，
是给定的正整数.设
，且
，
，记
.对于满足条件的任意函数，试求
的最大值.
（2）若是定义域为的函数，且最小正周期为
，证明：不是上的函数.
是定义在定义域上的函数.若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数.（1）已知
是上的函数，是给定的正整数.设，且，，记.对于满足条件的任意函数，试求的最大值.（2）若
是定义域为的函数，且最小正周期为，证明：不是上的函数.
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2006高三·黑龙江·竞赛
6 . 设是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间
上，
.矩形
的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数
的图像上，求矩形ABCI面积的最大值.
是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间上，.矩形的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数的图像上，求矩形ABCI面积的最大值.
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7 . 定义在上的函数
满足
.若
，
在区间
上有
个根，求的最小值.
上的函数满足.若，在区间上有个根，求的最小值.
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8 . 设函数的定义域为，对任意实数
、
，有
，且
，
.
（1）求证：
；
（2）若
时，
，求证：在
上单调递减；
（3）求的最小正周期.
的定义域为，对任意实数、，有，且，.（1）求证：
；（2）若
时，，求证：在上单调递减；（3）求
的最小正周期.
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2003高三·山东·竞赛
9 . 是定义在R上的函数，且对任意的
满足
，这里的
均为非零常数，证明：
是一个周期函数，并求其周期．
是定义在R上的函数，且对任意的满足，这里的均为非零常数，证明：是一个周期函数，并求其周期．
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10 . 已知是定义在实数集上的函数，且
.
（1）试证：是周期函数.
（2）若
，试求
的值.
是定义在实数集上的函数，且.（1）试证：
是周期函数.（2）若
，试求的值.
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