1 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-03-26更新
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1100次组卷
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4卷引用：压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测（4月）数学试题
2 . 求正整数
，使得
成立．
，使得成立．
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3 . 试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：
.
.
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4 . 求所有的正整数
、
、
，使得
是整数．
、、，使得是整数．
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5 . 求方程
的所有正整数解
.
的所有正整数解.
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2019高三·全国·竞赛
6 . 给定正整数
，集合
，
，且
，其中，
满足
是7的倍数
.求
.
，集合，，且，其中，满足是7的倍数.求.
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2006高三·陕西·竞赛
7 . 如图，已知抛物线
，
为
的焦点，
为准线，且与轴的交点为
.过点任意作一条直线交抛物线于
两点.
,求证：
;
（2）设
为线段
的中点，
为奇质数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数.求证：点到坐标原点
的距离不可能是整数.
，为的焦点，为准线，且与轴的交点为.过点任意作一条直线交抛物线于两点.
,求证：;（2）设
为线段的中点，为奇质数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数.求证：点到坐标原点的距离不可能是整数.
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2005高三·上海·竞赛
8 . 设
表示不超过实数的最大整数.求集合
的元素个数.
表示不超过实数的最大整数.求集合的元素个数.
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2013高三·江苏·竞赛
9 . 设p为奇素数，整数
均与p互素.若对
均有
，证明：除以p的余数互不相同.
均与p互素.若对均有，证明：除以p的余数互不相同.
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