1 . 记有理数集的非空子集具有以下性质：①；②若，，则；③存在非零有理数，且每一个不在中的非零有理数都可写成的形式，其中.
（1）若，，求证：；
（2）若是非零有理数，且，求证：；
（3）求证：，则存在、，使.

2 . 已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.
（1）当时，设，求；
（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.

3 . 已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则
（1）判断是否正确，说明理由
（2）证明：若则
（3）证明：若则

4 . 设集合满足条件，若，则（且）.
（1）若，求集合；
（2）若，试证明：；
（3）集合能否为单元素集合？为什么？

5 . 设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记
（1）当时，若，，求和的值
（2）当时，对于中的任意两个不同的元素，.证明：.并举一个使得等号成立的，的例子.

6 . 已知集合，其中，定义.若，则称与正交
（1）若，写出中与正交的所有元素
（2）令.若，证明：为偶数

8 . 已知数集，其中，且，若对，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.
（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；
（2）已知数集具有性质，判断数列，，…，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.

9 . 称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）求a_n=30时n的最大值.

10 . 对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，，写出与的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．