2 . 如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，
若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，
（）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．

4 . 定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.

6 . 设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.
(1)若集合，求的“集”；
(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
(3)若存在“集”，且，求的最大值.

9 . 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．
(1)直接写出的两个元素及的元素个数；
(2)已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
(3)证明：对任意，，，，总存在，使得．

10 . 给出以下两个数学运算（符号）定义：
①若函数，则，其中称为函数的次迭代.如：.
②对于正整数，若被除得的余数为，则称同余于，记为.如：.
(1)若函数，求；
(2)设是一个给定的正整数，函数记集合.
①证明：当时，；
②求并猜想.