1 . 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
(1)当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
(2)若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
(3)若α，，且，任取，求的值.

3 . 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.

4 . 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．

5 . 已知数集.如果对任意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.
（1）分别判断数集是否具有性质P，并说明理由：
（2）设数集具有性质P.
①若，证明：对任意都有是的因数；
②证明：.

6 . 对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.

7 . 已知集合，，，，其中．定义，若，则称与正交．
（1）若，写出中与正交的所有元素；
（2）令若，证明：为偶数；
（3）若且中任意两个元素均正交，分别求出时，中最多可以有多少个元素．

8 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

9 . 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合的元素个数；
（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.

10 . 定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：
①；②；③，若，则.
则称集合A为“减i集”
（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.