名校
1 . 已知无穷数列的各项均为正数,当时,;当时,,其中表示这个数中最大的数.
(1)若数列的前项为1,4,3,8,写出的值;
(2)是否存在,使,且?请说明理由;
(3)设,证明:.
(1)若数列的前项为1,4,3,8,写出的值;
(2)是否存在,使,且?请说明理由;
(3)设,证明:.
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2023高三·全国·专题练习
2 . 在个不同数的排列中,若时(即前面某数大于后面某数),则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为,如排列21的逆序数,排列4321的逆序数.
(1)求,,并写出的表达式;
(2)令,证明,.
(1)求,,并写出的表达式;
(2)令,证明,.
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3 . 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推. 设该数列的前项和为,
规定:若,使得(),则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足>70的最小的“佳幂数”;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
规定:若,使得(),则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足>70的最小的“佳幂数”;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
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