1 . 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若，，求甲获胜的概率；
(2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；
②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.

题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0

表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量，的期望，都存在，则.

2 . 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 2024年是弗拉基米尔•伊里奇•列宁逝世100周年.列宁同志短暂而又波澜壮阔的革命生涯，留给我们的宝贵遗产不仅是博大精深的思想，还有矢志不移的理想信念、坚韧不拔的革命意志和崇高的精神品格.为增加全体同学对列宁同志的了解，某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率.

6 . 全概公式率
（1）一般地，设，，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有____________，我们称此公式为全概率公式．
（2）全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（），并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 ．
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率，或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率．通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和．

7 . 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________.

8 . ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

9 . 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.

10 . 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．