1 . 易知椭圆，其短轴为4，离心率为e₁.双曲线的渐近线为，离心率为e₂，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ .

3 . 已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．

4 . 设函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）如果有两个极值点和，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

5 . ．
已知点是椭圆右焦点，点、分别是x轴、 y上的动点，且满足，若点满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（其中为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

6 . 已知函数.
（1）设实数k使得恒成立，求k的取值范围.
（2）设.若函数在区间内有两个零点，求k的取值范围.

7 . 设数列的前n项和为，点在的图像上.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有.

8 . 设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件
(1),;
(2)对任意的、均有则______.

9 . 已知椭圆: 的左、右焦点为F₁、F₂,设点F₁、F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上任意一点作椭圆的切线与直线的垂线交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线与直线交于点,证明:为定值.

10 . 已知函数
(1)若函数在区间上为单调增函数,求的取值范围;
(2)设,证明:             ①