1 . 若
是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的
位正整数，并同时满足如下两个条件：
（1）数字1，2，…，
在中各出现两次；
（2）每两个相同的数字
之间恰有
个数字．
此时，我们称这样的正整数为“好数”．例如，当
时，可以是312 132．试确定满足条件的正整数的值，并各写出一个相应的好数．
是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的位正整数，并同时满足如下两个条件：（1）数字1，2，…，
在中各出现两次；（2）每两个相同的数字
之间恰有个数字．此时，我们称这样的正整数
为“好数”．例如，当时，可以是312 132．试确定满足条件的正整数的值，并各写出一个相应的好数．
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2 . 设
为平面上
个点的集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上，
个点在圆内，个点在圆外．求证：好圆的个数与有相同的奇偶性．
为平面上个点的集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上，个点在圆内，个点在圆外．求证：好圆的个数与有相同的奇偶性．
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3 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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4 . 有12个球，颜色、大小完全一样，在重量上，其中一个球不合格，但不知这个球比标准的重还是轻.能否在一架天平上只称三次（不用砝码），把这个不合格的球找出来？
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5 . 已知空间9点集
，其中任意四点不共面.在这9个点间联结若干条线段，构成一个图G，使图中不存在四面体.问图G中最多有多少个三角形？
，其中任意四点不共面.在这9个点间联结若干条线段，构成一个图G，使图中不存在四面体.问图G中最多有多少个三角形？
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6 . 17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律：
(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；
(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.
(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.
开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，
，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于
，地球的公转轨道可近似看成圆
，火星的公转轨道可近似看成圆
，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与
均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.
(1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：
，计算结果保留两位小数)
(2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在
上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得
为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆
，使得直线AB恒与相切？证明你的结论.
(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；
(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.
(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.
开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，
，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示. (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：
，计算结果保留两位小数)(2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在
上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论.
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