1 . 若函数的定义域为全体正整数集合，则称：或，为数列，简记为，数列中的每一项即为.我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭.其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下，第二天截下，第天截下...不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0.我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为.
(1)已知数列，，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足，且，证明：.
(3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”.问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”.

3 . 称是的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，称包含的最小向往集合称为的生成向往集合，记为.
(1)求满足的正整数的值；
(2)对两个向往集合，定义集合
（i）证明：仍然是向往集合，并求正整数，满足；
（ii）证明：如果，则.