1 . 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明“如图，为线段中点，为上的一点.以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连结，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段________；由该图形可以得出，，的大小关系为__________.

2 . 用数学归纳法证明的过程中，由递推到时，等式左边增加的项是______.

3 . 《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，使得．该图形完成的无字证明．图中线段__________的长度表示，的调和平均数，线段______________的长度表示，的平方平均数．

4 . 用数学归纳法证明，第一步应验证______时是否成立．

5 . 用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．

6 . 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.

7 . 用数学归纳法证明 (n∈N^*)的过程如下：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2¹－1＝1，等式成立；
（2）假设当n＝k(k∈N^*)时等式成立，即1＋2＋2²＋＋2^k－1＝2^k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋2²＋＋2^k－1＋2^k＝＝2^k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N^*，等式都成立.上述证明的错误是________.

8 . 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从、、、、这个正整数中随机抽取个数，则恰好构成勾股数的概率为______.