1 . 某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求甲、乙得分之和为30分的概率．

2 . 全体正有理数的集合 被分拆为三个集合 (即 ，且 ，满足 ，这里
(1)给出一个满足要求的例子 (即给出 );
(2)给出一个满足要求的例子，且 中的任意两个相邻正整数均不同时 在中.

3 . 如图， 外切于点 ，过点 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 切 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 交 于 ，求证: 与 相切.

4 . 已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点在坐标轴上. 圆 的圆心为坐标原 点 ，过点 且倾斜角为的直线与圆 相切.
(1)求圆 的方程;
(2)过圆 上任意一点 作圆 的切线，与椭圆 交于 两点，均有 成立. 判断椭圆 是否过定点? 说明理由.

5 . 图G是指一个有序二元组（V，E），其中V称为顶点集，E称为边集．一个图G中的两点x，y的距离是指从x到y的最短路径的边数，记作．一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作，即．记是模的剩余类，定义上的加法和乘法，均是模的加法和乘法，例如在中，；，．在中，设．若存在使得，则称是的一个零因子．记的所有零因子的集合为．例如．的零因子图，记为，它是以为顶点集，两个不同的顶点，之间有一条边相连当且仅当．下图是的例子．证明：对一切的整数，都有．

6 . 如图所示，，，，，．证明：P为线段AB的中点．

7 . 给定正整数，数组称为“好数组”是指：均不为，且对任意的，均有．求“好数组”的组数．

8 . 已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率．

9 . 设，均为整系数多项式，且.若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根.

10 . 设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值．