1 . 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,也是在勾股定理的基础上,增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向,这些边就成了向量,向量与三角形的知识有着高度的结合.已知,,分别为内角,,的对边:
(1)请用向量方法证明余弦定理;
(2)若,其中为边上的中线,求的长度.
(1)请用向量方法证明余弦定理;
(2)若,其中为边上的中线,求的长度.
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2023-06-11更新
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579次组卷
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4卷引用:黑龙江省大庆市大庆铁人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
2 . 如图,已知,作正方形ADEB,BFGC,CHIA.求证:.
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3 . 正弦定理:三角形的各边和它所对角的__________ ,即_____ =____ =____ (R为外接圆的半径).
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
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名校
4 . 求证:
(1)
(2)对于任意角,
(1)
(2)对于任意角,
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