1 . 在平面直角坐标系中,利用公式①(其中,,,为常数),将点变换为点的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由,,,组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母,,…表示.(1)在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转得到点(到原点距离不变),求点的坐标;
(2)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(3)向量(称为行向量形式),也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设是一个二阶矩阵,,是平面上的任意两个向量,求证:.
(2)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(3)向量(称为行向量形式),也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设是一个二阶矩阵,,是平面上的任意两个向量,求证:.
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2 . 已知数表,,,其中,,分别表示,,中第行第列的数.若,则称是,的生成数表.
(1)若数表,,且是,的生成数表,求;
(2)对,,
数表,,与满足第i行第j列的数对应相同().是,的生成数表,且.
(ⅰ)求,;
(ⅱ)若恒成立,求的最小值.
(1)若数表,,且是,的生成数表,求;
(2)对,,
数表,,与满足第i行第j列的数对应相同().是,的生成数表,且.
(ⅰ)求,;
(ⅱ)若恒成立,求的最小值.
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3 . 求n阶行列式的值:,.
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4 . 已知椭圆,直线过右焦点与椭圆交于、两点,的三个顶点均在椭圆上,且为坐标原点.
(1)小明在计算的面积的最大值的时候用了如下方法,其中有两处出错,请指出其中的一处错误之处,并说明原因;解答:设,,则,所以的面积的最大值为.
(2)请给出题目(1)中问题的正确解答;
(3)小明虽然做错了,但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些,如求证下面问题,求证:当的重心为原点时,的面积是定值.
(1)小明在计算的面积的最大值的时候用了如下方法,其中有两处出错,请指出其中的一处错误之处,并说明原因;解答:设,,则,所以的面积的最大值为.
(2)请给出题目(1)中问题的正确解答;
(3)小明虽然做错了,但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些,如求证下面问题,求证:当的重心为原点时,的面积是定值.
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解题方法
5 . 设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)过上的点作圆的两条切线,切点为、,直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、,试求的面积的最小值;
(3)过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、,线段的垂直平分线与轴交于点,线段的中点为,是否存在,使得成立?请说明理由.
(1)求的方程;
(2)过上的点作圆的两条切线,切点为、,直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、,试求的面积的最小值;
(3)过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、,线段的垂直平分线与轴交于点,线段的中点为,是否存在,使得成立?请说明理由.
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6 . 如图所示,在平面直角坐标系中,点绕坐标原点逆时针旋转角至点.
(1)试证明点的旋转坐标公式:
(2)设,点绕坐标原点逆时针旋转角至点,点再绕坐标原点旋转角至点,且直线的斜率,求角的值;
(3)试证明方程的曲线是双曲线,并求其焦点坐标.
(1)试证明点的旋转坐标公式:
(2)设,点绕坐标原点逆时针旋转角至点,点再绕坐标原点旋转角至点,且直线的斜率,求角的值;
(3)试证明方程的曲线是双曲线,并求其焦点坐标.
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