1 . 设是两个非空集合，“若，则必有”这个命题是假命题，请你举出反例．

2 . 指出下列命题中的条件p和结论q．
(1)若，则x，y互为相反数．
(2)如果，则．
(3)当时，．

3 . 下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)．
(2)或是方程的根．
(3)空集是任何非空集合的真子集．
(4)指数函数是增函数吗？

4 . 判断下列命题的真假，并说明理由.
(1)“”是“”的必要不充分条件；
(2)“”是“”的充要条件.

5 . 判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假．
(1)；
(2)；
(3)若且，则；
(4)若，则关于的方程无实数根．

6 . 判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．
(1)；
(2)等腰三角形两底角相等；
(3)若，是任意实数且，则．

7 . 判断下列命题的真假：
(1)一个实数不是质数就是合数；
(2)若或，则；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若，则

8 . 设点在椭圆内，直线.
(1)求与的交点个数；
(2)设为上的动点，直线与相交于两点.给出下列命题：
①存在点，使得成等差数列；
②存在点，使得成等差数列；
③存在点，使得成等比数列；
请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题.
注：若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分.

9 . 课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例．
(1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假：
①任何集合都不是空集的子集；②若，则；
(2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则；
(3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题．

10 . 设为实数，定义生成数列和其特征数列如下：
（i）；
（ii），其中.
(1)直接写出生成数列的前4项；
(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；
①对任意实数，都有；
②对任意实数，都有；
③存在自然数和正整数，对任意自然数，有，其中为常数.
(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数生成数列存在无穷递增子列.