1 . 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

2 . 设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么称函数是函数的一个等值域变换，
（1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；
①，；
②，；
（2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性.

3 . 已知函数，且函数奇函数而非偶函数.
（1）写出的单调性（不必证明）；
（2）当时，的取值范围恰为，求与的值；
（3）设是否存在实数使得函数有零点？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

4 . 已知函数，
（1）求证在上递增；
（2）若在上的值域是，求实数a的取值范围；
（3）当在上恒成立，求实数a的取值范围.

5 . 已知为实数，
(1)求证：对于任意实数，在上是增函数；
(2)当是奇函数时，若方程总有实数根，求实数的取值范围.

6 . 对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.
(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；
(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；
(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”.

7 . 设函数.
（1）求的反函数；
（2）判断的单调性，不必证明；
（3）令，当，时，在上的值域是，求的取值范围．