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解题方法
1 . 工业废气在排放前需要过滤．已知在过滤过程中，废气中的某污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为
（e为自然对数的底数，
为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的
．
(1)求函数
的关系式；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的
，至少需过滤几小时？（参考：
）
（e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的．(1)求函数
的关系式；(2)要使污染物的含量不超过初始值的
，至少需过滤几小时？（参考：）
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解题方法
2 . Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
（
的单位：天）的Logistic模型：
，其中
为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半.
(1)求
的值；
(2)为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作.请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.
参考数据：
，
.
（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半.(1)求
的值；(2)为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作.请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含
的代数式表示）②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.
参考数据：
，.
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2023-03-01更新
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200次组卷
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2卷引用：广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期开学考数学试题
3 . 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为
，环境温度为
，那么经过
后物体的温度
（单位
），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型、指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：
，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．
(1)科学家最后确定了m，n这两个系数为
请你给出合理的解释；
(2)现有
的水杯中的水，放在
的环境温度中冷却，
以后的温度为
，求
的值（结果用对数表示，不要作近似计算）；
(3)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用
的水泡制，等茶水降至
时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在
的环境温度下，用的水泡制该绿茶，需要放置多少时间茶水才能达到最佳饮用口感？（单位：
，最后结果取整数）．
（注：本题取值
）
，环境温度为，那么经过后物体的温度（单位），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型、指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．(1)科学家最后确定了m，n这两个系数为
请你给出合理的解释；(2)现有
的水杯中的水，放在的环境温度中冷却，以后的温度为，求的值（结果用对数表示，不要作近似计算）；(3)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用
的水泡制，等茶水降至时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在的环境温度下，用的水泡制该绿茶，需要放置多少时间茶水才能达到最佳饮用口感？（单位：，最后结果取整数）．（注：本题取值
）
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4 . 某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量
与服药后的时间（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中
是线段，曲线段
是函数
的图象，且
.
(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量
关于时间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于
时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少
（参考数据：
）？
与服药后的时间（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数的图象，且.(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量
关于时间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于
时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少
（参考数据：）？
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2023-02-25更新
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418次组卷
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4卷引用：广东省汕头市育能实验学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
解题方法
5 . 人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从
级别跃升到
乃至EB
乃至
级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第
年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数
和
中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）
(2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的
倍?（注：
）
级别跃升到乃至EB乃至级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | … | 2020 |
数据量（ZB） | 0.5 | 0.8 | 1.2 | 1.5 | … | 80 |
年全球产生的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，从函数和中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）(2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的
倍?（注：）
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6 . 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过
后的温度为
，现给出以下三种函数模型：
①
（
，
）；
②
（
，
，）；
③
（
，，）．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前
的数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：
，
．）
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
水温/℃ | 100.00 | 92.00 | 84.80 | 78.37 | 72.53 | 67.27 |
后的温度为，现给出以下三种函数模型：①
（，）；②
（，，）；③
（，，）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前
的数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：
，．）
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2023-02-25更新
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437次组卷
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4卷引用：河南省信阳市第二高级中学2022-2023学年高一下学期期中模拟考试数学试题
名校
解题方法
7 . 某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：
），二月底测得水葫芦的生长面积为
，三月底测得水葫芦的生长面积为
，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是
；另一个是
，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：
，
）
），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：
，）
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2023-02-22更新
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638次组卷
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2卷引用：四川省绵阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
8 . 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的
．现有三个奖励模型：
，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：
，当
时，
恒成立）
．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，恒成立）
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9 . 阅读材料：碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘235、铯235、镭235等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般会用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为碳14的“半衰期”．设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为
，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成一个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为
；死亡2年后，生物体内碳14含量为
；……死亡5730年后，生物体内碳14含量为
．根据已知条件，
，则
．由此可以得到如果
是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14所剩的质量为
，则
．在实际问题中，形如
（
，
，
，
）是刻画指数衰减或指数增长变化规律的非常有用的函数模型．这种模型刻画现实事物变化规律的关键词是“衰减率（增长率）为常数”，发现规律的方法是作除法运算．如果以连续的时间变化为序，从一般意义来考查表达式，可以发现，对于任意给定的时间间隔
，
，由此可知这一类运动变化现象有如下规律：对于相同的时间改变量，其函数值按确定的比例
在增长（）或衰减（）．
结合阅读材料回答下列问题：
(1)一般地，如果某放射性物质的初始质量为
，半衰期为
，那么经过时间后，该物质所剩的质量为
，试写出关于的函数关系式；
(2)考古学家在对考古活动时发现的某种生物标本进行研究，经探测发现该生物体的体内碳14含量是原来的62.5%，试推测该生物的死亡时间距今约多少年？（参考数据：）
(3)已知函数
，
，且
，
，
，…，
，
，求函数，的一个解析式．
，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成一个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为；死亡2年后，生物体内碳14含量为；……死亡5730年后，生物体内碳14含量为．根据已知条件，，则．由此可以得到如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14所剩的质量为，则．在实际问题中，形如（，，，）是刻画指数衰减或指数增长变化规律的非常有用的函数模型．这种模型刻画现实事物变化规律的关键词是“衰减率（增长率）为常数”，发现规律的方法是作除法运算．如果以连续的时间变化为序，从一般意义来考查表达式，可以发现，对于任意给定的时间间隔，，由此可知这一类运动变化现象有如下规律：对于相同的时间改变量，其函数值按确定的比例在增长（）或衰减（）．结合阅读材料回答下列问题：
(1)一般地，如果某放射性物质的初始质量为
，半衰期为，那么经过时间后，该物质所剩的质量为，试写出关于的函数关系式；(2)考古学家在对考古活动时发现的某种生物标本进行研究，经探测发现该生物体的体内碳14含量是原来的62.5%，试推测该生物的死亡时间距今约多少年？（参考数据：
）(3)已知函数
，，且，，，…，，，求函数，的一个解析式．
您最近一年使用：0次
10 . 牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围传递热量逐渐冷却时所遵循的规律，是牛顿在1701年用实验确定的，是传热学的基本定律之一．牛顿冷却定律为
，其中t为时间，单位分钟，
为环境温度，
为物体初始温度，
为冷却后温度，k为常数．茶水在室温下逐渐冷却的现象满足牛顿冷却定律，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某研究人员在20℃室温下测量茶水温度，得到下表一组数据．（结果保留0.1，参考数据：
，
）
(1)根据以上数据求常数k；
(2)该茶水温度降至40℃时饮用，可以产生最佳口感，大约经过多少分钟水温降为40℃？
，其中t为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，k为常数．茶水在室温下逐渐冷却的现象满足牛顿冷却定律，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某研究人员在20℃室温下测量茶水温度，得到下表一组数据．（结果保留0.1，参考数据：，）| 时间/min | 0 | 5 |
| 水温/℃ | 100 | 50 |
(2)该茶水温度降至40℃时饮用，可以产生最佳口感，大约经过多少分钟水温降为40℃？
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