1 . 观察实际情景,提出并分析问题
(1)实际情境
企业的生产经营活动,最终以利润论成败,利润的本质是企业盈利的表现形式,是全体职工的劳动成绩,企业为市场生产优质商品而得到利润,注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润,意味着该企业有一定的盈利能力,意味着企业具有较强的获取现金的能力,影响利润的因素较复杂,如果排除一些较为复杂的因素,我们是否可以预测利润,为企业的发展献计献策?
(2)提出问题
为长期获得可观的利润,应该如何制定企业的发展策略?
(3)分析问题
某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,企业的发展必然受到利润率的制约,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,我们可以根据企业成本与利润的数据,通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
①选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
②试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据,刻画出散点图,根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具,得到的散点图如下图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/79af70409dca49dfa47ecf71f9ab9fb7.png?resizew=433)
根据散点图的形式,结合我们所学的函数图像,发现模型的不确定.
4.建立模型
(1)幂函数型
根据散点图的形式,可假设
(
,且
),
则
,化简得到
,
设,利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为
,不合题意舍.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/dcdf4bfb179147e6a0b0a7de9740f3cf.png?resizew=217)
(2)对数函数模型
设
(
,且
),
则
,解得
,∴
.
(3)指数函数模型
设
,
则
,故
,
,
,
故
,
但当
时,
,故指数函数模型不合适.
结合以上分析,我们发现对数函数函数模型较为合适.
5.检验模型
我们用余下的数据进行检验,
当
时,
;当
,
,这两组数据与实际的数据比较接近,故选择对数函数模型.
6.问题解决
由题知
,解得
.,
∵年利润
,∴该企业要考虑转型.
7.问题拓展
在上述模型的建立的过程中,我们根据散点图选择了不同的函数模型,然后利用前3个点求出对应的函数形式,否定了其中两个不合的函数模型,那么请同学思考一下是否有更合适的模型?
(1)实际情境
企业的生产经营活动,最终以利润论成败,利润的本质是企业盈利的表现形式,是全体职工的劳动成绩,企业为市场生产优质商品而得到利润,注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润,意味着该企业有一定的盈利能力,意味着企业具有较强的获取现金的能力,影响利润的因素较复杂,如果排除一些较为复杂的因素,我们是否可以预测利润,为企业的发展献计献策?
(2)提出问题
为长期获得可观的利润,应该如何制定企业的发展策略?
(3)分析问题
某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,企业的发展必然受到利润率的制约,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,我们可以根据企业成本与利润的数据,通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |||
投资成本![]() | 3 | 5 | 9 | 17 | 33 | … | ||
年利润![]() | 1 | 2 | 3 | 4.1 | 5.2 | … |
②试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据,刻画出散点图,根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具,得到的散点图如下图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/79af70409dca49dfa47ecf71f9ab9fb7.png?resizew=433)
根据散点图的形式,结合我们所学的函数图像,发现模型的不确定.
4.建立模型
(1)幂函数型
根据散点图的形式,可假设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14660b4aa4c21b19c0f62820425ec9d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2684b72f9f38f5046c8ecd4280b7b14b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/406185f4ad8bcd99e23adc8d289088ed.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5fea278e9ded2dc4a0ddd4204d03a033.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d03dee0f8993f9292e40d1745a261a8.png)
设,利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/143b917df0520097be222accbddf9394.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/27/3031491768680448/3031522783764480/STEM/dcdf4bfb179147e6a0b0a7de9740f3cf.png?resizew=217)
(2)对数函数模型
设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abecae2eb350726a656946082fc72356.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c400a615a16a1662de98dfb4e49d58d3.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6a25922c0e74ad1599ba90e106840b0a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28d68283c88e599532267ef84801bc3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e058320c2914a2d55ceab4861227be1b.png)
(3)指数函数模型
设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8de84f604ca83931624f88ab35886131.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e22aacb22684be091e1a0300b791d761.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4850d77570ddd2e2a8f5c248e127a1e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe5d3083be215c3fe17e5d1760d6da45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d4ad895065f5fc7d6b9218b5c92d73d3.png)
故
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a29fee3dcc11a53f9cb36b95668642da.png)
但当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0b49d586e381d72a591858887cca78.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d93802ed778871ae813033756123231.png)
结合以上分析,我们发现对数函数函数模型较为合适.
5.检验模型
我们用余下的数据进行检验,
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0b49d586e381d72a591858887cca78.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de72a5190834f5dbe895596656c038b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3eebf105566438c95a59cd33e5d27a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8076b511e27939c629762296b8cfd08.png)
6.问题解决
由题知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76f59766b1760c6beb48e740c993d99d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecf40931c445bbd4967a55951eb0bcb8.png)
∵年利润
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8c2964f22ef3350bcc31bf744c4c307.png)
7.问题拓展
在上述模型的建立的过程中,我们根据散点图选择了不同的函数模型,然后利用前3个点求出对应的函数形式,否定了其中两个不合的函数模型,那么请同学思考一下是否有更合适的模型?
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名校
解题方法
2 . 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
给出以下3个函数模型:①
;②
(
,且
);③
(
,且
).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | |
投资成本![]() | 3 | 5 | 9 | 17 | … |
年利润![]() | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9bd144e0e96e4236a14523e0729cacb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be590ee1d57690f5d5b1dd7301aa2290.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80797be7cff74c0c9eeb0fd4124693ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/406185f4ad8bcd99e23adc8d289088ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f807ee4839c0f53fc6b1ad45c84024b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c400a615a16a1662de98dfb4e49d58d3.png)
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
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2022-03-04更新
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1287次组卷
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8卷引用:福州省四校联盟2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
2020高三·全国·专题练习
名校
3 . 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:
给出以下3个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型.
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | … |
投资成本x | 3 | 5 | 9 | 17 | … |
年利润y | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
给出以下3个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型.
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2020-09-03更新
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51次组卷
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3卷引用:专题2.9 函数模型及其应用(精讲)-2021年高考数学(文)一轮复习学与练
(已下线)专题2.9 函数模型及其应用(精讲)-2021年高考数学(文)一轮复习学与练安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段性测试数学试题广东省广州市北师大广实2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
4 . 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出
万元,则超出部分按
进行奖励,记奖金为
(单位:万元),销售利润为
(单位:万元).
(1)写出奖金
关于销售利润
的关系式;
(2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7014d1a207553a660be8f54b008fed7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)写出奖金
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?
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5 . 某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的
.现有三个奖励模型:
,
,
,其中哪个模型符合该校的要求?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8ee628efd6b2f7296c106dd5cbae42f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/633cb79c1e44ca4ef401331bf055e889.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/290c83b9d5e28fac2be655460938e76b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc1575f036aa8b99e44ecfd11e3e69c2.png)
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2023-08-29更新
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92次组卷
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8卷引用:2017-2018学年人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型
2017-2018学年人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型人教A版(2019) 必修第一册 逆袭之路 第四章 4.5 函数的应用(二) 4.5.3 函数模型的应用(已下线)第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5 信息技术支持的函数研究-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第一册练习(已下线)第三章+函数的应用(基础过关)-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷(人教A版必修1)(已下线)4.4.3+不同函数增长的差异-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)(已下线)【导学案】4.4 对数函数(第3课时 不同函数增长的差异)-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》(人教A版2019必修第一册)人教A版(2019) 必修第一册 数学奇书 学业评价(三十三) 不同函数增长的差异(已下线)4.4.3 不同函数增长的差异(导学案)-【上好课】
名校
6 . 后疫情时代,人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务,健身教练进入直播间变身网红,线上具有获客、运营、传播等便利,线下具有器械、场景丰富等优势,线上线下相互赋能,成功吸引新会员留住老会员.据机构统计,当直播间吸引粉丝量不低于2万人时,其线下销售健身卡的利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如下表所示.根据表中数据,我们用函数模型
进行拟合,建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测,当直播间的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为______ 万元.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/850988de8cabc553d5846637b3a1e230.png)
| 3 | 5 | 9 |
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解题方法
7 . 临港自由贸易区某科技公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的26%.现在有三个奖励模型:
,
,
,若已知函数
在
上为严格增函数,问其中哪个模型能符合公司的要求?并请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2605338d65d689761fa4c7c8687318e2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f7dd6aa04a2d01ac2ceb983b7c963885.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b667beaffcf1a6bd061c20dffda97c82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7dba534214d7042cbab6e294db8d142.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d9b66e9594564fdc56ecc67581c5c74.png)
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名校
解题方法
8 . 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:
,
,
.(参考数据:
)
(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求,并说明理由.
(2)基于(1)所得的符合公司要求的模型,当利润为多少时,奖金与利润之比最大,并求出最大值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f7dd6aa04a2d01ac2ceb983b7c963885.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cecf1de6c2a346c807dc7658d24c5479.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c0de5c1cf15699e82630eaa972dd313b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba398664509bb863d37d0da51b862db1.png)
(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求,并说明理由.
(2)基于(1)所得的符合公司要求的模型,当利润为多少时,奖金与利润之比最大,并求出最大值.
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2023-02-23更新
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406次组卷
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4卷引用:广东省广州市荔湾区2022-2023学年高一上学期期末数学试题
名校
9 . 鸡仔饼是广州的一种特色小吃,属粤菜系,是广东四大名饼之一.为了实现鸡仔饼销售100万元的利润目标,某商家准备制定激励销售人员的奖励方案:在销售利润超过6万元时,按销售利润进行奖励,且奖金
(单位:万元)随销售利润
(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识,设计了如下函数模型,其中符合这一商家要求的是( )参考数据:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa761af3462599a8dea48ff640494f73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa761af3462599a8dea48ff640494f73.png)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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10 . 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售人员的销售利润不低于10万元时,按其销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售人员的销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过其销售利润的
.现有三个奖励模型:
,请分别判断这三个模型是否符合公司的要求?并说明理由.(参考数据:
,当
时,
恒成立)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0ab5c1b86983380e75e0d12ddc92705.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2955ddb68e348e5fd31305fb2039adb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ee9aa7a1f8b8b870e5242fc97ff9f03.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e53a1588661b007baa1013560316b689.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6db01902cc6104b2aedf0ff43d884ab8.png)
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