1 . 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
（1）用表示与，并写出与的关系式；
（2）求证：当时，数列为等比数列，并说明的现实意义；
（3）若公司希望经过年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值．（用表示）

2 . 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，，求证：．

3 . 已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 . 已知数列的前项之和为满足．
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．

5 . 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且数列的前项和为，求证:.

6 . 设（其中），．
（1）定义的长度为，求的长度；
（2）把的长度记作数列，令．
求数列的前项和；
是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知数列的前n项和为,且
（1）求的通项公式；
（2）设,若集合恰有5个元素,求实数的取值范围.

8 . 若和分别表示数列和的前项和 ，对任意正整数，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求的前项和.

9 . 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.

10 . 已知数列的前n项和为，且．
（1）求出数列的通项公式；
（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．