1 . 数列极限理论是数学中重要的理论之一，它研究的是数列中数值的变化趋势和性质．数列极限概念作为微积分的基础概念，它的产生与建立对微积分理论的创立有着重要的意义．请认真理解下述3个概念．
概念1：对无穷数列
，称
为数列的各项和．
概念2：对一个定义域为正整数集的函数
，如果当
趋于正无穷大时，
的值无限趋近于一个常数
，即当
时，
，就说常数是的极限值，记为
．如：
，当时，由反比例函数的性质可知
，即记为
．当
（
为常数）时，
．
概念3：对无穷数列，其各项和为
，若当时，
（
为常数），即
，则称该数列的和是收敛的，为其各项和的极限；若当时，其各项和的极限不存在，则称该数列的和是发散的，其各项和的极限不存在．
试根据以上概念，解决下列问题：
(1)在无穷数列中，
，求数列的各项和
的极限值；
(2)在数列
中，
，讨论数列的和是收敛的还是发散的；
(3)在数列
中，
，求证：数列的和是发散的．
概念1：对无穷数列
，称为数列的各项和．概念2：对一个定义域为正整数集的函数
，如果当趋于正无穷大时，的值无限趋近于一个常数，即当时，，就说常数是的极限值，记为．如：，当时，由反比例函数的性质可知，即记为．当（为常数）时，．概念3：对无穷数列
，其各项和为，若当时，（为常数），即，则称该数列的和是收敛的，为其各项和的极限；若当时，其各项和的极限不存在，则称该数列的和是发散的，其各项和的极限不存在．试根据以上概念，解决下列问题：
(1)在无穷数列
中，，求数列的各项和的极限值；(2)在数列
中，，讨论数列的和是收敛的还是发散的；(3)在数列
中，，求证：数列的和是发散的．
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2 . 设
是无穷正项等比数列，公比为
.对于正整数集
的子集
，若
，定义
；若
，定义
.
（1）若
，
，
，求
；
（2）设
.若､
是的非空有限子集且
，求证：
；
（3）若对的任意非空有限子集
､
，只要
，就有
，求公比的取值范围.
是无穷正项等比数列，公比为.对于正整数集的子集，若，定义；若，定义.（1）若
，，，求；（2）设
.若､是的非空有限子集且，求证：；（3）若对
的任意非空有限子集､，只要，就有，求公比的取值范围.
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名校
3 . 设数列
的各项都是正数，若对于任意的正整数
，存在
，使得
、
、
成等比数列，则称函数为“
型”数列.
（1）若是“
型”数列，且，
，求
的值；
（2）若是“
型”数列，且
，
，求的前项和
；
（3）若既是“型”数列，又是“
型”数列，求证：数列是等比数列.
的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、成等比数列，则称函数为“型”数列.（1）若
是“型”数列，且，，求的值；（2）若
是“型”数列，且，，求的前项和；（3）若
既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.
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2019-08-17更新
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462次组卷
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2卷引用：上海市格致中学2018-2019学年高三下学期三模数学试题
名校
4 . 已知：函数
，数列对
，总有
；
（1）求的通项公式；
（2）设是数列的前项和，且
，求
的取值范围；
（3）若数列
满足：①为
的子数列（即中每一项都是的项，且按在中的顺序排列）；②为无穷等比数列，它的各项和为
，这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
，数列对，总有；（1）求
的通项公式；（2）设
是数列的前项和，且，求的取值范围；（3）若数列
满足：①为的子数列（即中每一项都是的项，且按在中的顺序排列）；②为无穷等比数列，它的各项和为，这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
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真题
5 . 设数列
满足
为实数
（Ⅰ）证明：
对任意
成立的充分必要条件是
；
（Ⅱ）设
，证明：
;
（Ⅲ）设，证明：
满足为实数（Ⅰ）证明：
对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设
，证明：;（Ⅲ）设
，证明：
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