16-17高三上·河北衡水·阶段练习
名校
1 . 在单调递增数列
中, 
,且
成等差数列,
成等比数列，
.
（1）①求证：数列
为等差数列；
②求数列通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
,证明:
.
中, ,且成等差数列, 成等比数列，. （1）①求证：数列
为等差数列；②求数列
通项公式；（2）设数列
的前项和为,证明:.
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2016-12-04更新
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970次组卷
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4卷引用：黄金卷13-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）
（已下线）黄金卷13-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理）试卷2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一下学期期中考试数学（理）试卷河北省保定市定州中学2021届高三上学期期中数学试题
20-21高三下·上海浦东新·开学考试
名校
2 . 设等差数列
的公差为
，且
，若设
是从
开始的前
项数列的和，即
（
，
），
（
），如此下去，其中数列
是从第
（
）开始到第
（
）项为止的数列的和，即
（
，
）.
(1)若数列
（
，
），试找出一组满足条件的、
、
，使得：
；
(2)试证明对于数列（），一定可通过适当的划分，使所得的数列
中的各数都为平方数；
(3)若等差数列中
，
，试探索该数列中是否存在无穷整数数列
（
），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由.
的公差为，且，若设是从开始的前项数列的和，即（，），（），如此下去，其中数列是从第（）开始到第（）项为止的数列的和，即（，）.(1)若数列
（，），试找出一组满足条件的、、，使得：；(2)试证明对于数列
（），一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列
中，，试探索该数列中是否存在无穷整数数列（），，使得为等比数列，如存在，就求出数列；如不存在，则说明理由.
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解题方法
3 . 若对于数列
中的任意两项
､
，在中都存在一项
，使得
，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项
，在中都存在两项
､
，使得
，则称数列为“Y数列”.
（1）若数列为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列的前项和
，求证：数列为“Y数列”；
（3）若数列为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：
成等比数列.
中的任意两项､，在中都存在一项，使得，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项，在中都存在两项､，使得，则称数列为“Y数列”.（1）若数列
为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由；（2）若数列
的前项和，求证：数列为“Y数列”；（3）若数列
为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：成等比数列.
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19-20高三下·浙江·开学考试
4 . 已知等比数列的公比
，且
，
是
，
的等差中项，数列
满足：数列
的前项和为
.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列
满足：
，
，证明
的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列
、的通项公式；（2）数列
满足：，，证明
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2020-10-27更新
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1571次组卷
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8卷引用：4.4 数学归纳法（精讲）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册（人教A版）
（已下线）4.4 数学归纳法（精讲）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册（人教A版）（已下线）2021年高考数学押题预测卷02（浙江专用）（已下线）专题7.6 数学归纳法（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）浙江省“山水联盟”2019-2020学年高三下学期返校考试数学试题（已下线）专题15 数列与不等式（解答题）-冲刺2020高考跳出题海之高三数学模拟试题精中选萃（浙江专版）（已下线）专题7.6 数学归纳法（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题7.6 数学归纳法（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）第23讲 证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练
名校
5 . 对于数列，称
（其中
）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有
，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且
，其前项和记为，试计算：
（
）；
（3）若各项均为正数的等比数列
的公比
，求证:是“趋稳数列”.
，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求的取值范围；（2）已知等差数列
的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）；（3）若各项均为正数的等比数列
的公比，求证:是“趋稳数列”.
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2020-02-01更新
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1792次组卷
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5卷引用：上海市2021届高三高考数学押题密卷试题07
名校
解题方法
6 . 已知是公差不为0的等差数列，，，
成等比数列，且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
，数列的前项和为
，证明：
.
是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，且.(1)求数列
的通项公式；(2)若
，数列的前项和为，证明：.
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2020-03-02更新
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593次组卷
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2卷引用：西藏拉萨中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
2017·上海普陀·一模
7 . 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的
，均有
，
.
（1）求证：
是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求
；
（3）设
，数列
的前项和为，是否存在正整数
，使得
、
、成等比数列，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.（1）求证：
是等比数列，并求出的通项公式；（2）若数列
中去掉的项后，余下的项组成数列，求；（3）设
，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2020-01-29更新
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1819次组卷
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5卷引用：专题二 数列求和-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）
（已下线）专题二 数列求和-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）2017届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）数学试题（已下线）必刷卷08-2020年高考数学必刷试卷（新高考）【学科网名师堂】-《2020年新高考政策解读与配套资源》（已下线）卷08-2020年高考数学冲刺逆袭必备卷（山东、海南专用）【学科网名师堂】（已下线）考点21 求和方法（第2课时）练习-2021年高考数学复习一轮复习笔记
18-19高三上·浙江嘉兴·阶段练习
名校
8 . 已知是等差数列,是等比数列,
．设
是数列的前项和．
(1)求
；
(2)试用数学归纳法证明：
．
是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和．(1)求
；(2)试用数学归纳法证明：
．
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2020-06-03更新
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344次组卷
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3卷引用：专题20 数学归纳法-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练
（已下线）专题20 数学归纳法-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练浙江省嘉兴市2018-2019学年高三上学期9月教学测试数学试题江西省南昌县莲塘县第三中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题
名校
9 . 已知数列中，
，
，.
（1）证明数列
是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由.
中，，，.（1）证明数列
是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列
中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由.
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2019-11-14更新
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683次组卷
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4卷引用：江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期学情检测(一)数学试题
名校
10 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为
，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足
且
，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有
，且
，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数
，使
．
，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列
的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列
满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列
成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．
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2020-01-01更新
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573次组卷
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3卷引用：上海市高桥中学2022届高三上学期12月月考数学试题
