1 . 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且.
（1）求数列与的通项公式；   
（2）记，证明：.

2 . 已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由.

3 . 已知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，
（1）若，求；
（2）已知，且对任意的，有恒成立，求证：数列是等差数列；
（3）若，且存在正整数，使得，求当最大时，数列的通项公式.

4 . 设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前项和为，数列满足.
（1）若，求的值；
（2）若数列为等差数列，求；
（3）在（1）的条件下，求证：数列中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.

5 . 已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，.
     ①求证:数列是等比数列；
     ②求满足的所有正整数的值．