1 . 冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为.
(1)比较与的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.

2 . 某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量.
(1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释；
(2)已知，
①求 ；
②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？

3 . 已知等式
(1)若均为正整数，求的值；
(2)设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．

4 . （1）已知，求证；
（2）利用（1）的结论，证明：（且）.

5 . 我们知道，，当且仅当时等号成立.即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数.
此结论可以推广到三元，即，当且仅当时等号成立.
(1)证明：，当且仅当时等号成立.
(2)已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求实数的最小值.

6 . 从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.

7 . 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由.

8 . （1）设，用反证法证明：若，则或．
（2）设，比较与的值的大小．

9 . 已知．
(1)比较与的大小．
(2)试问“”是“”的什么条件？说明你的理由．

10 . 已知．
(1)若，试比较与的大小；
(2)若，且，求的最小值．