1 . （1）已知，求证：；
（2）求证：．

2 . 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.

3 . 已知正数，满足．
(1)求的最小值；
(2)若正数满足，证明：与之和为定值，且．

4 . 已知，．
(1)若，证明：．
(2)若，求的最小值．
(3)若，求的最大值．

5 . 设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．

6 . 设实数满足.
(1)若，求证：；
(2)若，求的取值范围.

7 . 已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.

8 . 已知，都是正数.
(1)若，证明：；
(2)当时，证明：.

10 . （1）已知x，y为正实数．证明：．
（2）对任意的正实数x，y，均有成立，求k的取值范围．