1 . 直线与平面垂直的判定
(1)向量法
设直线的方向向量为,平面的法向量为,则______ ,使得______ .
(2)判定定理
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直.
(1)向量法
设直线的方向向量为,平面的法向量为,则
(2)判定定理
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直.
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2 . 如果非零向量所在直线与平面______ ,则称为平面的法向量.
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解题方法
3 . 如图,在长方体中,,以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,若为线段的中点,则点到平面的距离为______ .
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23-24高二下·全国·课前预习
4 . 平面的法向量
(1)定义:
如果是空间中的一个平面,是空间中的一个______ 向量,且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直,则称为平面的一个________ .此时,也称与平面垂直,记作_________ .
(2)性质:
①如果直线l垂直平面,则直线l的任意一个___________ 都是平面的一个法向量;
②如果是平面的一个法向量,则对任意实数,空间向量_____ 也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都_______ .
例:已知是平面的一个法向量,那么______ 平面的一个法向量.(填“是”或“不是”)
③如果是平面的一个法向量,A为平面上一个已知的点,则对于平面内任意一点B,向量一定与向量_______ ,即______________ ,从而可知平面的位置可由和A唯一确定.
(1)定义:
如果是空间中的一个平面,是空间中的一个
(2)性质:
①如果直线l垂直平面,则直线l的任意一个
②如果是平面的一个法向量,则对任意实数,空间向量
例:已知是平面的一个法向量,那么
③如果是平面的一个法向量,A为平面上一个已知的点,则对于平面内任意一点B,向量一定与向量
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5 . 已知,分别是平面的法向量,若,则______ .
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24-25高二上·全国·课前预习
6 . 求平面法向量的步骤:
(1)设向量:设平面的法向量为.
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量.
(3)列方程组:由_________ 列出方程组.
(4)解方程组.
(5)赋非零值:取的其中一个为________ (常取).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
(1)设向量:设平面的法向量为.
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量.
(3)列方程组:由
(4)解方程组.
(5)赋非零值:取的其中一个为
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
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解题方法
7 . 已知正四面体ABCD的棱长为2,点M、N分别为和的重心,P为线段CN上一点,则下列结论正确的是______ .(填序号)
①直线平面ACD;
②若,则平面ABC;
③若取得最小值,则.
①直线平面ACD;
②若,则平面ABC;
③若取得最小值,则.
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解题方法
8 . 在长方体中,已知异面直线与AD,与AB所成角的大小分别为60°和45°,则直线和平面所成的角的余弦值为______ .
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9 . 在空间直角坐标系内,平面经过三点、、,向量是平面的一个法向量,则______ .
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10 . 平面的法向量:______ .
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