1 . 设是定义在上的函数，且，对任意，，若经过点、的直线与轴的交点是，则称为、关于函数的平均数，记为.
（1）若，求的表达式；
（2）若，求出所有满足条件的的解析式；
（3）若对任意，，且，都有成立，求证：.

2 . 已知直线 （其中为实数）过定点P，点Q在函数的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是___________．

3 . 如图，过椭圆：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；
（2）求四边形面积的最大值.

4 . 函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k），最低点Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．
（3）求证：点Q_k到（2）中的直线L的距离是一个定值．