1 . 已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

2 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；
（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．

4 . 在直角坐标系中，已知定点、，动点满足，设点的曲线为，直线与交于两点.
（1）写出曲线的方程，并指出曲线的轨迹；
（2）当，求实数的取值范围；
（3）证明：存在直线，满足，并求实数的取值范围.

5 . 设动点到点和的距离分别为，且存在常数，使得.证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程.