1 . 已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线．
(1)求的方程；
(2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值．

2 . 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线上的点，若，求证：为定值.

4 . 已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.

5 . 已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求的方程；
(2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.

7 . 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．

8 . 已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．

9 . 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

10 . 已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．