1 . 已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 已知是双曲线的左右焦点，，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.

3 . 已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程：
(2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T．
（i）证明：射线是的角平分线；
（ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围．

4 . 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．

5 . 已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点.

6 . 已知双曲线的中心在原点O，右焦点为，P是双曲线右支上一点，且的面积为.若点P的坐标为，求此双曲线的渐近线方程.

7 . 双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为______．

8 . 已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．

9 . 已知双曲线的焦距为，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.
①求的取值范围；
②求证：直线过点．

10 . 已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.