1 . 已知双曲线经过点．
(1)求的离心率；
(2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点．

2 . 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．

3 . 已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积．

4 . 已知点，在双曲线（，）上，直线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；
(3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

5 . 已知双曲线的离心率为，且经过点．点M，N在y轴上，（O为坐标原点），直线AM，AN分别交双曲线C于P，Q两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)求点O到直线PQ的距离的最大值．

6 . 直线与双曲线相交于，两点，若以为直径的圆过原点，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程．

7 . 已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．

(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
(2)现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
(3)如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

8 . 已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求的方程；
(2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.

9 . 以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是______．

10 . 与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．