1 . 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点．

(1)求证：直线过定点并求点的坐标；
(2)求三角形面积的最大值．

2 . 已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在轴,离心率为.是椭圆与轴负半轴的交点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)过作两条直线，且与曲线的异于的交点分别为.设的斜率分别是，若,求证:由确定的直线经过定点.

3 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标．

4 . 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求此定点坐标．

5 . 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

6 . 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

7 . 设椭圆经过点，且离心率等于.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.

8 . 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A，B.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM·k_BN＝－，求证：直线l过原点．