1 . 设椭圆的右焦点为，右顶点为，且，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.
（1）求的方程；
（2）设过且斜率不为零的直线与交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.

2 . 如图,已知是椭圆的长轴顶点,是椭圆上的两点,且满足,其中、分别为直线AP、QB的斜率.

（1）求证：直线和的交点在定直线上；
（2）求证：直线过定点；
（3）求和面积的比值.

3 . 已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点.
(1)求椭圆方程；
(2)轴上是否存在定点D (在椭圆外），使得过的直线 交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点．

5 . 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

6 . 已知两点A(－，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E₁，E₂分别是GH，MN的中点.求证：直线E₁E₂恒过定点.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 为椭圆的上顶点， △为等边三角形，且其面积为， 为椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.

8 . 椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________.

9 . 设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.

10 . 已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．