【推荐1】已知， ，动点Z满足.
(1)求动点Z的轨迹曲线的标准方程；
(2)四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是，且.
（i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ii）证明：.

【推荐2】已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．
(1)求C的标准方程；
(2)直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值．

【推荐1】已知椭圆的右焦点为F.
（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率；
（2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.

【推荐2】已知椭圆，点在上，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点．证明：直线与轴交于定点；

【推荐3】阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：
（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；
（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为．记椭圆的方程为．
①过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点；
②设点为椭圆上位于第一象限内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．、