1 . 求证：.

2 . 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
   
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般有这样的结论:第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m，k（m，）的数字公式表示上述结论，并给予证明.

3 . 证明：，其中m是自然数，n是正整数，且．

4 . 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.

5 . 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．

6 . （1）计算：；
（2）计算：；
（3）猜想的值，并证明你的结果．

7 . （1）计算：；
（2）证明：.

8 . 规定，其中，，且，这是组合数（，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到（，）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.

9 . 对任意，定义+，其中为正整数.
（1）求的值；
（2）探究是否为定值，并证明你的结论；
（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.