1 . 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．
(1)当时，求球又回到甲手中的概率；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(3)记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．

3 . 在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，而且这种压力将伴随着现代生活节奏的加快和社会竞争日趋加速而逐渐增大，心理压力产生的主要原因是个人目标期望值与现实状况之间的差距，这种差距越大产生的心理压力就越大，当心理压力达到一定程度时，不但不会产生积极的动力，反而会使人的身体经络系统失去平衡，进而产生如焦虑症、恐慌症、失眠症等其他心理疾病，某市为了解市民压力情况，随机对该市的1000位市民进行了心理压力测试，并对他们的测试分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)测试分数越接近100表示压力越大，80分为临界分数，测试分数不低于临界分数的则需要降低追求目标或充分休息，以样本的频率作为总体的概率，在该市随机调查10位市民，X表示其中需要降低追求目标或充分休息的人数，求X的期望；
(2)从样本中测试分数在的两组市民中，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选出3人，求选出的3人中恰有2人测试分数在中的概率；
(3)若一个总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为:m，，，n，，.记总的样本平均数为，样本方差为.证明:①；②.

4 . 核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为元，记检测的总费用为元.
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）.