1 . “双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有
人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差
、
的大小关系（结论不要求证明）．
| 每周参加活动天数 课后服务活动 | 1天 | 2~4天 | 5天 |
| 仅参加学业辅导 | 10人 | 11人 | 4人 |
| 仅参加体育锻炼 | 5人 | 12人 | 1人 |
| 仅参加实践能力创新培养 | 3人 | 12人 | 1人 |
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有
人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
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2022-01-14更新
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1578次组卷
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6卷引用：北京市第三中学2023届高三上学期期中学业测试数学试题
北京市第三中学2023届高三上学期期中学业测试数学试题北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题北京市西城区回民学校2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）解密19 随机变量及分布（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）广东省惠州市2023届高三上学期第二次调研数学试题
名校
解题方法
2 . 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.
(1)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
(2)从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：
(3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为
，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为
，全部十个区域降雨量的方差为
.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
| 北京密云 | 山东乐陵 | 河北迁西 | 山东庆云 | 北京怀柔 | 河北海兴 | 河北唐山 | 天津渤海A平台 | 河北丰南 | 山东长清 |
| 180毫米 | 175毫米 | 144毫米 | 144毫米 | 143毫米 | 140毫米 | 130毫米 | 127毫米 | 126毫米 | 126毫米 |
(2)从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：
(3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为
，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
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2022-01-16更新
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602次组卷
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3卷引用：北京市东直门中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
3 . 空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：
现分别从甲、乙两个城市
月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取
天的数据，记录如下：
（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；
（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为
．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为
，若
，与原有的天的数据构成新样本的方差记为
；若
，与原有的天的数据构成新样本的方差记为
，试比较、、的大小．（结论不要求证明）
空气质量指数 |
|
|
|
|
|
|
空气质量类别 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：甲 |
|
|
|
|
|
|
乙 |
|
|
|
|
|
|
月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
（3）记甲城市这
天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）
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2021-01-23更新
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842次组卷
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3卷引用：北京市陈经纶中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
4 . 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球
光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中
．
（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（2）已知北京的纬度是北纬
，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于
时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为
颗，求的分布列和数学期望；
（3）记
时10颗恒星的视星等的方差为，记
时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中．| 星名 | 天狼星 | 老人星 | 南门二 | 大角星 | 织女一 | 五车二 | 参宿七 | 南河三 | 水委一 | 参宿四 |
| 视星等 |  |  |  |  | 0.03 | 0.08 | 0.12 | 0.38 | 0.46 | a |
| 绝时星等 | 1.42 |  | 4.4 |  | 0.6 | 0.1 |  | 2.67 |  |  |
| 赤纬 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
（2）已知北京的纬度是北纬
，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（3）记
时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
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2021-04-07更新
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2310次组卷
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14卷引用：北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学模拟练习试题
北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学模拟练习试题北京市西城区2021届高三一模数学试题北京市第十三中学2022届高三12月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二6月月考数学试题江苏省南京市天印高级中学2021--2022学年高二下学期期中数学试题北京市第十一中学2023届高三上学期11月月考数学试题北京市西城区北京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题北京市第一七一中学2024届高三上学期开学考试数学试题北京高二专题12概率与统计（第二部分）陕西省宝鸡市千阳县中学2021届高三下学期5月第十一次模考理科数学试题人教B版(2019) 选修第二册 名师精选 第四章 概率与 统计苏教版(2019) 选修第二册 限时训练 第26练 离散型随机变量的方差与标准差陕西省西安中学2022届高三下学期二模理科数学试题（已下线）专题3超几何分布运算（提升版）
名校
解题方法
5 . 
，
，
三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
（1）试估计班的学生人数；
（2）从班和班抽出的人数中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生锻炼时间互不影响，求该周甲锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为
，表格中数据的平均数记为
，试判断和的大小（结论不需要证明）.
，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） | 6.5 | 7 | 7.5 | |||
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | 12 |
班的学生人数；（2）从
班和班抽出的人数中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生锻炼时间互不影响，求该周甲锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从
，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
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名校
6 . 改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
亿元以上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设
是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
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2019-04-09更新
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743次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区中央美术学院附属实验学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题
名校
7 . 北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：
（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为
元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为
元．试比较和的方差
和
大小．（结论不需要证明）
| 四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
| 四惠东 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
| 高碑店 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | |||
| 传媒大学 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
| 双桥 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
| 管庄 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
| 八里桥 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
| 通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
| 果园 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
| 九棵树 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
| 梨园 | 3 | 3 | |||||||||||
| 临河里 | 3 | ||||||||||||
| 土桥 | |||||||||||||
| 四惠 | 四惠东 | 高碑店 | 传媒大学 | 双桥 | 管庄 | 八里桥 | 通州北苑 | 果园 | 九棵树 | 梨园 | 临河里 | 土桥 |
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为
元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）
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2019-01-26更新
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468次组卷
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4卷引用：北京市第一七一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 甲、乙两人进行射击比赛，各射击
局，每局射击
次，射击命中目标得
分，未命中目标得
分，两人局的得分情况如下：
(1)若从甲的局比赛中，随机选取
局，求这局的得分恰好相等的概率．
(2)如果
，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．
(3)在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
的所有可能取值．（结论不要求证明）
局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲 |
|
|
|
|
乙 |
|
|
|
|
局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率．(2)如果
，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．(3)在
局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）
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2017-12-24更新
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616次组卷
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6卷引用：北京市第三十五中学2022届高三上学期期中考试数学试题
