名校
解题方法
1 . 某校为探索新型教学模式,将800名高一新生平均分成16个班,且每班的生源情况基本相同,其中8个班采用“先学后教、当堂训练”的新模式,其他班级还按照原有模式教学,经过一学期的教学,将学生的期中、期末成绩之和进行全校排名,并与入学排名比较,规定名次小于等于入学名次的为进步,其他情况为退步,得到如下数据:
(1)是否有
的把握认为“学生进步与否与教学模式有关”?
(2)现采用分层抽样的方法从退步的学生中抽取5人,再从中随机抽取3人作进一步调查,求恰有一名学生被采用新模式教学的概率.
附:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/06cd1573e87b7aa48a969d0454ce5186.png)
原有模式 | 新模式 | |
进步 | 202 | 268 |
退步 | 198 | 132 |
(1)是否有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a363cc53497fdfac77b43f656424f973.png)
(2)现采用分层抽样的方法从退步的学生中抽取5人,再从中随机抽取3人作进一步调查,求恰有一名学生被采用新模式教学的概率.
附:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/06cd1573e87b7aa48a969d0454ce5186.png)
![]() | 0.50 | 0.010 | 0.001 |
![]() | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
2 . 大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时,各抒己见展示各自的解法.
题干:定义“规范01数列”
如下:
共有
项,其中
项为0,
项为1,且对任意
,
中0的个数不少于1的个数.若
,则不同的“规范01数列”共有[14]个.
A同学发现数据较少,可以列出所有情况,得到14个;
B同学在组合数学中学过卡特兰数,
,所以此题是
的情况,
.
在一次活动课上,甲、乙俩人设计了一个游戏,抛硬币一次,若正面向上加一分,反面向上减一分.若起始分为零分,出现负分游戏立刻停止.
(1)求在一次游戏中,恰好在第十一次后结束,中途只出现过两次零分的概率;
(2)如果一个人在一次游戏中,连续抛了十次硬币,求此时积分
的分布列和期望;
(3)参与一次游戏,记总共抛硬币次数为
,
的期望为
,求满足
的最小正整数
.
题干:定义“规范01数列”
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76aef4cdcb5af742ce28003b7b6c8c20.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76aef4cdcb5af742ce28003b7b6c8c20.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1232cb61b815cee8d87cf779d1d1cac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/711b21672fd907c5c92fee1d649e7003.png)
A同学发现数据较少,可以列出所有情况,得到14个;
B同学在组合数学中学过卡特兰数,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6fefd8e0dbfaac6f95c73ab1bde1072d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
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在一次活动课上,甲、乙俩人设计了一个游戏,抛硬币一次,若正面向上加一分,反面向上减一分.若起始分为零分,出现负分游戏立刻停止.
(1)求在一次游戏中,恰好在第十一次后结束,中途只出现过两次零分的概率;
(2)如果一个人在一次游戏中,连续抛了十次硬币,求此时积分
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)参与一次游戏,记总共抛硬币次数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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名校
解题方法
3 . 自2022北京冬奥会以来,花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞,做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作,其“基础分”也不同,其中四个跳跃动作4T,4S,4F,4Lz的“基础分”如表1所示.
表1
选手表演完,得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”,否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
表2
假设用频率估计概率,且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
(1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次,估计这次跳跃为“成功”的概率;
(2)若该选手在本赛季中,计划完成4T,4S,4F 这三个动作,且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)在本赛季中,从四个跳跃动作4T,4S,4F,4Lz中选出三个,使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大,请直接写出这三个动作的名称.
跳跃动作 | 4T | 4S | 4F | 4Lz |
基础分 | 9.5 | 9.7 | 11.0 | 11.5 |
选手表演完,得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”,否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
4T | 12.04 | 11.22 | 4.75 | 9.06 | 9.97 | 11.63 | 10.98 |
4S | 10.98 | 10.57 | 11.32 | 4.85 | 9.51 | 12.07 | |
4F | 13.69 | 5.50 | 14.02 | 12.92 | |||
4Lz | 13.54 | 14.23 | 11.21 | 8.38 | 11.87 |
假设用频率估计概率,且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
(1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次,估计这次跳跃为“成功”的概率;
(2)若该选手在本赛季中,计划完成4T,4S,4F 这三个动作,且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)在本赛季中,从四个跳跃动作4T,4S,4F,4Lz中选出三个,使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大,请直接写出这三个动作的名称.
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解题方法
4 . 一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球,其中10个红球,10个黄球,20个绿球,依次随机抽取小球,每次只取1个小球,完成下列问题:
(1)若取出的小球不再放回,
①求最后取完的小球是黄球的概率;
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率;
③设随机变量
为最后一个红球被取出时所需的取球次数,求
;
(2)若取出的小球又放回袋中,直到取到红球就停止取球,且最多取
次球,设随机变量
为取球次数,证明:
.
(1)若取出的小球不再放回,
①求最后取完的小球是黄球的概率;
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率;
③设随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(2)若取出的小球又放回袋中,直到取到红球就停止取球,且最多取
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d217815119d30cc42255b88b89238022.png)
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解题方法
5 . 山西省有“五千年历史看山西”之誉,文化悠久,旅游资源丰富.张先生一家计划在五一假期到山西畅游一番,从忻州市的五台山、大同市的云冈石窟和北岳恒山、晋中市的平遥古城和乔家大院、临汾市的壶口瀑布,这6个景点中选出4个打卡游玩.
(1)若张先生家必打卡五台山,求张先生家至多打卡晋中市的1个景点的概率;
(2)设
表示张先生家打卡大同市和临汾市景点的个数之和,求
的分布列和数学期望.
(1)若张先生家必打卡五台山,求张先生家至多打卡晋中市的1个景点的概率;
(2)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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6 . 在农业生产中,对植物病害进行诊断可以帮助我们确定并采取适宜的防治措施,能很大程度上减少植物病害的发生,保障农作物的品质和产量.为测量一植物的某项指标值,研究人员引入了一种新型检测方法,该方法每次只需检测叶片黄化程度、病斑面积两项,若叶片黄化程度的百分比大于
且白病斑面积的百分比大于
,则检验结果为阳性,否则为阴性.为检验该检测方法是否准确,研究人员随机抽取
类植物50株(用“*”表示)和
类植物50株(用“+”表示)进行检测.检测结果制成如下散点图:
类植物中随机抽取一株,求检测结果呈阳性的概率;
(2)从检测结果呈阴性的
类植物和呈阳性的
类植物中按照分层抽样的方法抽取8株,再从这8株中随机抽取3株,记这3株中呈阳性的株数为
,求
的分布列和数学期望;
(3)根据散点图,补全下面的2×2列联表,并判断是否有
的把握认为植物的种类与该指标检测结果有关.
附:
,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6c23313b7b754da3bec8a586e02a68ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24c4bf61e073c899494b2fb3b767b108.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
(2)从检测结果呈阴性的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)根据散点图,补全下面的2×2列联表,并判断是否有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe157a9c3fe004a25bf1fb79c8c0a1b.png)
植物种类 | 阳性 | 阴性 | 合计 |
A类植物 | |||
B类植物 | |||
合计 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f0027bac3e5bdeaccf6429e9835cb0f.png)
![]() | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
![]() | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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7 . 现有一摸奖游戏,其规则如下:设置1号和2号两个保密箱,在1号保密箱内共放有6张卡片,其中有4张卡片上标有奇数数字,另外2张卡片上标有偶数数字;2号保密箱内共放有5张卡片,其中有3张卡片上标有奇数数字,另外2张卡片上标有偶数数字.摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内,待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后,再从2号保密箱内随机摸出一张卡片,即完成一次摸奖,如果摸奖者从1号保密箱和2号保密箱内摸出的卡片上的数字均为偶数即中奖.当上一个人摸奖结束后,需要将两保密箱内的卡片复原并搅拌均匀,下一个人才可摸奖,所有卡片的外观质地都相同.
(1)求摸奖者完成一次摸奖就中奖的概率;
(2)若有3人依次摸奖,且每人只完成一次摸奖,求这3人摸奖全部结束后中奖人数
的分布列和数学期望;
(3)为了提高摸奖者的中奖概率,现将游戏规则修改为:摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内,待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后,再从2号保密箱内随机摸出一张卡片,如果摸奖者从2号保密箱内摸出的卡片上的数字为偶数即中奖.在修改游戏规则的同时,对1号和2号两个保密箱内的卡片重新进行调整:已知标有奇数、偶数的卡片各有7张,并且已在1号保密箱内放入了3张标有奇数的卡片,2号保密箱内放入了4张标有奇数的卡片,那么,应该如何放置7张标有偶数的卡片(每个保密箱中至少放入1张偶数卡片),才能使摸奖者完成一次摸奖的中奖概率最高?最高为多少?请说明理由.
(1)求摸奖者完成一次摸奖就中奖的概率;
(2)若有3人依次摸奖,且每人只完成一次摸奖,求这3人摸奖全部结束后中奖人数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)为了提高摸奖者的中奖概率,现将游戏规则修改为:摸奖者先从1号保密箱内随机摸出一张卡片放入2号保密箱内,待把2号保密箱内的卡片重新搅拌均匀后,再从2号保密箱内随机摸出一张卡片,如果摸奖者从2号保密箱内摸出的卡片上的数字为偶数即中奖.在修改游戏规则的同时,对1号和2号两个保密箱内的卡片重新进行调整:已知标有奇数、偶数的卡片各有7张,并且已在1号保密箱内放入了3张标有奇数的卡片,2号保密箱内放入了4张标有奇数的卡片,那么,应该如何放置7张标有偶数的卡片(每个保密箱中至少放入1张偶数卡片),才能使摸奖者完成一次摸奖的中奖概率最高?最高为多少?请说明理由.
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名校
解题方法
8 . 近两年旅游业迎来强劲复苏,外出旅游的人越来越多.
两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下:
利润率
,盈利为正,亏损为负,且每个月的成本不变.
(1)比较
两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小;
(2)用频率估计概率,且假设
两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的,求未来的某个月
两家旅游公司至少有一家盈利的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
利润率 月数 公司 | -5% | ||
A公司 | 3 | 2 | 1 |
B公司 | 2 | 2 | 2 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d076182f6fea5504101f5e9dd7a20b7.png)
(1)比较
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
(2)用频率估计概率,且假设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
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解题方法
9 . 某学校进行了垃圾分类知识普及的系列培训讲座及实践活动,现对高二学生进行综合检测,从中按比例抽取了30名学生的成绩,其频率分布表如图所示.
(1)求
和
,并估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率(分数在
为合格),若合格率低于
,将增加培训的次数,请根据抽样结果分析并判断是否增加培训次数.
(2)从样本中成绩在
的学生中随机选2人,求恰有2人成绩位于
的概率.
分数段 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
频数 | 2 | 4 | ![]() | 9 | 4 | ![]() |
频率 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/116437d720e0591e3a1212f0a95791db.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1213c2a26a77edc9d0615b9988474c77.png)
(2)从样本中成绩在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18e876eb8da6cb76f53507b76b1d7f5b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f8c2a91a15e1f7b296b64d3bd2e7551.png)
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10 . 我市开展了“暖冬计划”活动,为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定:学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于
某地采购了一批符合达标要求的供暖器,经抽样检测,这批供暖器的噪声
单位:分贝
和热效率的频率分布直方图如图所示:
(1)求a,b的值;
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的,从这批供暖器中随机抽2件,求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于
的概率;
(3)当
,设供暖器的噪声不超过
(分贝)的概率为
,供暖器的热效率不低于
的概率为
,求
的取值范围.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd995178601c2ad7b40f973d268c7bb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
(1)求a,b的值;
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的,从这批供暖器中随机抽2件,求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24c4bf61e073c899494b2fb3b767b108.png)
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13620684da9724432d33a2489c63bedb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b30c7c297a88106f7380440c113f7a91.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8be646cd52d7f2f1714e7542e75810f2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5cf7b4e54130938f457d00a45977586e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cca4b2f545d6cfd6764ad19c7bc2c2f8.png)
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