名校
1 . 如图，直角坐标系中，圆的方程为
，
，
，
为圆上三个定点，某同学从
点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子
次时，棋子移动到，
，
处的概率分别为
，
，
．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为
，
，
．
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；
（2）掷骰子
次时，若以
轴非负半轴为始边，以射线
，
，
为终边的角的余弦值记为随机变量
，求
的分布列和数学期望；
（3）记
，
，
，其中
．证明：数列
是等比数列，并求
.
，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到
，，处的概率；（2）掷骰子
次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记
，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.
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2019-12-12更新
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2570次组卷
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10卷引用：2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试数学(理)试题
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试数学(理)试题山东省潍坊市2019-2020学年高三上学期期中数学试题2020届山西省大同市第一中学高三一模数学（理）试题陕西省西安中学2020届高三下学期第八次模拟考试数学(理)试题（已下线）考点33 离散型随机变量的概率-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）专题22 离散型随机变量的概率-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题9.2 离散型随机变量的均值与方差-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）重庆市第八中学2021届高三上学期一诊适应性考试数学试题新疆石河子第一中学2022届高三8月月考数学（理）试题（A卷）（已下线）专题10-2 概率压轴大题(理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
名校
2 . 北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：
（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为
元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为
元．试比较和的方差
和
大小．（结论不需要证明）
| 四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
| 四惠东 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
| 高碑店 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | |||
| 传媒大学 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
| 双桥 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
| 管庄 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
| 八里桥 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
| 通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
| 果园 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
| 九棵树 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
| 梨园 | 3 | 3 | |||||||||||
| 临河里 | 3 | ||||||||||||
| 土桥 | |||||||||||||
| 四惠 | 四惠东 | 高碑店 | 传媒大学 | 双桥 | 管庄 | 八里桥 | 通州北苑 | 果园 | 九棵树 | 梨园 | 临河里 | 土桥 |
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为
元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）
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2019-01-26更新
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468次组卷
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4卷引用：2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试理科数学试题
名校
解题方法
3 . 某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为
，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中
）
(1)记事件
表示王同学假期三天内去运动场锻炼
次
，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当
时，试根据全概率公式求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
？若存在，求的值：若不存在，请说明理由；
(3)记
表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，
.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：
.
，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） | 0 | 1 | 2 | 3 |
 |  |  |  |  |
表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；(2)是否存在实数
，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由；(3)记
表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：.
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