解题方法
1 . 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）
(1)应收集多少位女生样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，
，
，
，
，
．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
(3)视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记
为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．
(1)应收集多少位女生样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．(3)视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记
为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．
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名校
解题方法
2 . 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占
；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.
(1)完成下面的
列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？
(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，记X为抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.(1)完成下面的
列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？女生 | 男生 | 总计 | |
购买 | |||
未购买 | |||
总计 |
参考公式：
，其中.参考数据：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-02-06更新
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433次组卷
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5卷引用：内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理科）试题
名校
3 . 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为
，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为
，其中
.
(1)若
，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求
的取值范围.
，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.(1)若
，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求
的取值范围.
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2022-11-08更新
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1592次组卷
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11卷引用：内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考理科数学试题
内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考理科数学试题内蒙古自治区赤峰市第二实验中学2023届高三上学期10月月考理科数学试题广东省普宁市华美实验学校2021届高三下学期二模数学试题四川省南充市南充高级中学2023届高三上学期第三次质量检测理科数学试题（已下线）数学（新高考Ⅰ卷B卷）（已下线）专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-2河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期中数学试题（已下线）7.4.1二项分布(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题广西壮族自治区玉林市四校2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题四川省盐亭中学2023届高三三诊模拟数学（理科）试题
解题方法
4 . 为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间，市体质监测中心抽取了该校高三A班和高三B班各10名学生进行体质测试，得到如下数据.
高三A班10名学生体质测试成绩（单位：分）
高三
班10名学生体质测试成绩（单位：分）
其中体质测试成绩在60分以下为不合格，88分以上为优秀.
(1)求
班10名学生体质测试成绩的平均分，估计班学生体质测试成绩的优秀率；
(2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进行补考测试，记这3人中来自班的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
高三A班10名学生体质测试成绩（单位：分）
| 55 | 58 | 65 | 67 | 76 | 79 | 80 | 82 | 85 | 93 |
班10名学生体质测试成绩（单位：分）| 56 | 57 | 59 | 72 | 78 | 83 | 85 | 87 | 91 | 92 |
(1)求
班10名学生体质测试成绩的平均分，估计班学生体质测试成绩的优秀率；(2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进行补考测试，记这3人中来自
班的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
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2022-07-22更新
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205次组卷
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3卷引用：内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题
内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题湖南省衡阳市祁东县2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）陕西省西安市铁一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考理科数学试题变式题19-22
5 . 某商场为了考查商场一个月的商品销售额
（单位：万元）与广告费支出
（单位：万元）之间的相关关系，绘制了如图散点图．
(1)由散点图求出关于的经验回归直线方程；
(2)统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额（单位：万元）近似地服从正态分布
，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过
万元，没有奖励；若日销售额超过万元但不超过
万元，则每人奖励
元；若日销售额超过万元，则每人奖励
元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望．（答案精确到整数）
附：参考公式：经验回归直线方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
，
若
，则
，
，
．
（单位：万元）与广告费支出（单位：万元）之间的相关关系，绘制了如图散点图． (1)由散点图求出
关于的经验回归直线方程；(2)统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额
（单位：万元）近似地服从正态分布，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过万元，没有奖励；若日销售额超过万元但不超过万元，则每人奖励元；若日销售额超过万元，则每人奖励元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望．（答案精确到整数）附：参考公式：经验回归直线方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，，若
，则，，．
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2022-07-07更新
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306次组卷
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2卷引用：内蒙古包头铁路第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题
名校
解题方法
6 . 2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 
合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切接触者为阴性的概率为 
，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率
的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用
表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 
.
合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切接触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率
的表达式;(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用
表示以下结论:①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为
，求的分布列和数学期望 .
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2022-06-05更新
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788次组卷
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5卷引用：内蒙古自治区赤峰市林东第一中学2023届高三下学期3月模拟考试理科数学试题
名校
7 . 高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设
为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设
为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
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2022-05-25更新
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1016次组卷
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9卷引用：内蒙古霍林郭勒市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
内蒙古霍林郭勒市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）2022年全国高考甲卷数学（理）试题变式题9-12题（已下线）2022年全国高考甲卷数学（理）试题变式题9-12题（已下线）6.6 分布列基础（精练）（已下线）8.3 分布列（精讲）（已下线）2022年全国高考甲卷数学（理）试题变式题17-20题黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2021—2022学年高二下学期月考数学试题（文）河南省平顶山市龙河实验高级中学2021-2022学年高二下学期5月月考数学（理）试题山东省实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
名校
8 . 受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润数据如下：
根据上面的数据得到的一些统计量如下：
表中
，
.
(1)若用方程
拟合该室内滑雪场的季利润y与季度x的关系，试根据所给数据求出该方程；
(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
(3)从这6个季度的利润中随机抽取4个，记季利润不低于4.5万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.
附：线性回归方程
中，
，
.参考数据：
| 第x个季度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 季利润y（万元） | 2.2 | 3.6 | 4.3 | 4.9 | 5.3 | 5.5 |
 |  |  |  |  |
| 4.3 | 0.5 | 101.4 | 14.1 | 1.8 |
，.(1)若用方程
拟合该室内滑雪场的季利润y与季度x的关系，试根据所给数据求出该方程；(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
(3)从这6个季度的利润中随机抽取4个，记季利润不低于4.5万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.
附：线性回归方程
中，，.参考数据：
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2022-05-08更新
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919次组卷
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4卷引用：内蒙古赤峰二中2022届高三下学期5月模拟数学（理）试题
内蒙古赤峰二中2022届高三下学期5月模拟数学（理）试题河南省重点高中“顶尖计划“2022届高中毕业班第四次考试理科数学试题（已下线）考点27 随机变量的分布列、期望与方差（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）河南省济源第一中学2022-2023学年高二下学期6月模拟检测数学试题
9 . 随着生活水平不断的提高，人们越来越注重养生.科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们新宠.某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
(1)求出销量关于月份编号
的线性回归方程，并预测该年
月份该品牌器材销量；
(2)该品牌销售商为了促销采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子有编号为
的三个完全相同的小球，有放回的摸三次，三次摸的是相同编号的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同编号的享受八折优惠，其余的均九折优惠.已知此款器材一台标价为
元，设物业公司购买此健身器材的价格为，求的分布列与期望.
附：参考公式与数据：对于线性回归方程
，其中
，
，
，
，
.
月份 |
|
|
|
|
|
月份编号 |
|
|
|
|
|
销量 |
|
|
|
|
|
月
月
月
月
月
关于月份编号的线性回归方程，并预测该年月份该品牌器材销量；(2)该品牌销售商为了促销采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子有编号为
的三个完全相同的小球，有放回的摸三次，三次摸的是相同编号的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同编号的享受八折优惠，其余的均九折优惠.已知此款器材一台标价为元，设物业公司购买此健身器材的价格为，求的分布列与期望.附：参考公式与数据：对于线性回归方程
，其中，，，，.
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2022-04-24更新
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321次组卷
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3卷引用：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（理）
内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（理）新疆阿勒泰地区2022届高三第三次联考数学（理）试题（已下线）第九章 重难专攻(十二)概率中的综合题 （讲）一轮点点通
10 . 为评估设备
生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本直径的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（
表示相应事件的概率）,
；
；
.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于
或直径大于
的零件认为是次品.
（i）从设备的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数
的数学期望
；
（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数
的概率分布列和数学期望
.
生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：| 直径/mm | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 合计 |
| 个数 | 2 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 31 | 16 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 100 |
，标准差，以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为
，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）,；；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备
的性能等级.(2)将直径小于等于
或直径大于的零件认为是次品.（i）从设备
的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数的数学期望；（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数
的概率分布列和数学期望.
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