1 . 陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望.
(3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值.

2 . 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

(1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率；
(2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望；
(3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论）

3 . 2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人

市民	春节旅游意愿
	愿意	不愿意
青年人	80	20
老年人	40	60

(1)根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.
附：，其中.

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

6 . 盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球．
(1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望；
(2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：．

8 . 为调查不同地域的人们对中国传统文化的了解情况，某机构抽样调查了北京、沈阳、武汉、广州等四个城市的部分中学生，调查问卷共20个题目.
(1)小张能确定1~10题的答案，11~15题答对的概率均为p，16~20题答对的概率均为p²，若他答对题目个数的均值为17.2个，求p；
(2)在武汉和广州两个城市的1000名受调人群中，得到如下数据：

城市	了解程度
	不了解	了解
武汉	67	341
广州	70	522

请在参考数据②中选择一个，根据相应的小概率α值进行， 独立性检验，分析受调群体中对民俗文化的了解程度是否存在城市差异.
参考公式：①
②若x，y是离散型随机变量，则.
参考数据：
② 独立性检验常用小概率值和相应临界值：

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

9 . 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？

	关注民生问题	不关注民生问题	合计
青少年
中老年		10
合计			200

(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．

	0.050	0.010	0.005	0.001
	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；

	去峨眉山旅游	去青城山旅游	合计
东小组
西小组
合计

(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联.